Regularidad de Szemerédi lemma

En matemáticas, la regularidad de Szemerédi lemma declara que cada gráfico bastante grande se puede dividir en subconjuntos de aproximadamente la misma talla de modo que los bordes entre subconjuntos diferentes se comporten casi al azar. introducido una versión más débil de este lemma, restringido a gráficos bipartitos, a fin de demostrar el teorema de Szemerédi, y en demostró lemma lleno. Las extensiones del método de la regularidad a hipergráficos fueron obtenidas por Rödl y sus colaboradores y Gowers.

Declaración formal de la regularidad lemma

La declaración formal de la regularidad de Szemerédi lemma requiere algunas definiciones.

Deje a G ser un gráfico.

La densidad de un par del vértice desarticulado se pone X, el Y es la cantidad

:

donde E (X, Y) denota el juego de bordes que tienen un vértice del final en X y un en Y.

Para ε> 0, un par del vértice se pone X y Y se llama ε-pseudo-random, si para todos los subconjuntos un de X y B de la satisfacción de Y y, tenemos

:

Se llama una partición del juego del vértice de G en juegos de k un

Partición de ε-regular, si para todo yo, j, y todos excepto de los pares, yo

Es una variante común en la definición de una partición ε-regular para requerir que el vértice se ponga todos tienen la misma talla, mientras el recogimiento de los vértices sobrantes en un "error" - se puso cuya talla es como máximo un ε-fraction de la talla del juego del vértice de G.

El M atado para el número de partes en la partición del gráfico dado por las pruebas de la regularidad de Szemeredi lemma es muy grande, dado por un tronco (1/&epsilon) - el nivel iteró exponencial del m. En algún momento se esperó que el verdadero ligado fuera mucho más pequeño, que habría tenido varias aplicaciones útiles. Sin embargo

los ejemplos encontrados de gráficos para los cuales el M realmente en efecto se pone muy rápido y es al menos tan grande como un tronco (1/&epsilon) - el nivel iteró exponencial del m. En particular el mejor ligado tiene el nivel exactamente 4 en la jerarquía de Grzegorczyk, y tan no es una función recurrente elemental.

Extensiones

János Komlós, Gábor Sárközy y Endre Szemerédi más tarde demostraron en la explosión lemma que los pares regulares en la regularidad de Szemerédi lemma se comportan como gráficos bipartitos completos en las condiciones correctas. El lemma tuvo la exploración más profunda en cuenta en la naturaleza de embeddings de gráficos escasos grandes en gráficos densos.

Véase también



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