Ecuación diferencial exacta

En matemáticas, una ecuación diferencial exacta o ecuación diferencial total es cierta clase de la ecuación diferencial ordinaria que es ampliamente usada en física e ingeniería.

Definición

Considerando un subconjunto simplemente relacionado y abierto D de R y dos funciones I y J que son continuos en D entonces una ecuación diferencial ordinaria de primer orden implícita de la forma

:

se llama la ecuación diferencial exacta si allí existe un continuamente differentiable función F, llamado la función potencial, de modo que

:

y

:

La nomenclatura de "la ecuación diferencial exacta" se refiere al derivado exacto de una función. Para una función, el derivado exacto o total con respecto a da

:

Ejemplo

La función

:

es una función potencial para la ecuación diferencial

:

Existencia de funciones potenciales

En aplicaciones físicas las funciones I y J sólo no son por lo general continuas, pero hasta continuamente differentiable. El Teorema de Schwarz entonces nos provee de un criterio necesario para la existencia de una función potencial. Para ecuaciones diferenciales definidas en juegos simplemente relacionados el criterio es hasta suficiente y conseguimos el teorema siguiente:

Considerando una ecuación diferencial de la forma (por ejemplo, cuando F tiene la cuesta cero en el x y dirección y en F (x, y)):

:

conmigo y J continuamente differentiable en un subconjunto simplemente relacionado y abierto D de R entonces una función potencial F existe si y sólo si

:

Soluciones de ecuaciones diferenciales exactas

Considerando una ecuación diferencial exacta definida en algún subconjunto simplemente relacionado y abierto D de R con la función potencial F entonces una función de differentiable f con (x, f (x)) en D es una solución si y sólo si allí existe el número real c de modo que

:

Para un problema del valor inicial

:

podemos encontrar en la localidad una función potencial por

:

Solución

:

para y, donde c es un número real, podemos construir entonces todas las soluciones.

Véase también



Buscar